Поиск
?
Всего: 202 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Найти максимальное значение суммы 
Тогда при замене пары a, c на пару 
получим
При замене пары b, d на пару 
получим
имеем 
поэтому 
и разность в предыдущем предложении положительна. Следовательно, максимум выражения достигается при 
и равен 
(все дроби с натуральными числителем и знаменателем, сумма числителя и знаменателя которых равна 101) выбрать три, произведение которых равно 1?
произведение которых равно 1. Тогда 
Множество Х различных натуральных чисел, не превосходящих n таково, что сумма любых двух, в том числе и совпадающих, элементов Х, не превосходящая n, тоже принадлежит Х. Доказать, что среднее арифметическое всех чисел множества Х не меньше 
Сначала рассмотрим сумму 
она больше xm и не может лежать в Х, следовательно, по условию 
Аналогично, для произвольного 
имеем: 
Если 
то все суммы 
будут k различными членами Х, большими 
что невозможно, поскольку больше 
только 
— 
элементов Х, противоречие. Следовательно, для каждого 
имеем 
При нечётном m в частности, 
Суммируя полученные равенства, получим 
откуда следует утверждение задачи.
.
.
для некоторых простых p и q.
Из простоты p и q следует, что делителями правой части могут быть только числа 1, p, q и pq, одно из которых и должно равняться 
Ввиду того, что 1, p и q меньше 
получаем 
и 
Перепишем последнее равенство в виде 
откуда 
или 
и 
, 
, 
.
?
для некоторого натурального 
Заметим, что десять чисел в скобках в обеих частях равенства в условии являются всевозможными попарными суммами чисел a, b, c, d, e, то есть попарными суммами чисел 
Из равенства в условии следует, что произведение всех этих десяти попарных сумм является точным квадратом натурального числа. Выразим это произведение через x: 
оно является квадратом тогда и только тогда, когда квадратом является 
Однако последнее выражение не может быть квадратом, так как оно меньше 
но больше 
в силу того, что 
.
если известно, что 
и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.
и приведём к общему знаменателю: 
Ввиду 
сокращаем 
и 
: 
Последнее равносильно 
снова сокращаем 
получаем 
а искомое выражение равно 
для некоторых 
Тогда 
поэтому 
Следовательно, добавив, при необходимости к числам a, b единицы в количестве, равном 
получим множество натуральных чисел, сумма и произведение которых равны n.
откуда 
то есть 
Во-вторых, если в произведении всех цифр натурального числа заменить все цифры, кроме первой, на десятки, то произведение не уменьшится, но будет не больше самого числа, поэтому произведение всех цифр числа не превосходит самого числа, значит, 
откуда, 
то есть 
Для 
условие, очевидно, выполнено, следовательно, это единственный ответ.
из первого равенства имеем 
причём, если 
и из второго равенства 
Следовательно, для любой пары чисел из нашей либо эти числа равны, либо их сумма равна 2 и произведение оставшейся пары чисел равно 1. В частности, среди чисел нашей четвёрки содержится максимум два различных числа. 
Ввиду монотонности функции 
являющейся суммой двух монотонно возрастающих функций 
и 
решение будет единственно: 
Получаем первую искомую четвёрку 
Если чисел, равных a, ровно два, то 
откуда 
и мы имеем на самом деле случай 1). Если чисел, равных a, ровно три, то 
и, либо 
и мы получаем новую искомую четвёрку 
Добавляя решения, получающиеся перестановками переменных, получим три новых четвёрки.
и 
В ряд слева направо записаны все натуральные числа от 1 до 37 в таком порядке, что каждое число, начиная со второго по 37-ое, делит сумму всех чисел, стоящих левее него: второе делит первое, третье — сумму первого и второго, и т.д, последнее — сумму первых тридцати шести. На первом слева месте оказалось 37, какое число стоит на третьем месте?
и должно равняться 19, так как 37 уже занято. Следовательно, на третьем месте стоит число 2.
по условию, 
Если 
то первое неравенство возможно лишь при 
и в этом случае их сумма равна нулю. Если 
то из второго неравенства следует 
и снова сумма всех чисел равна 0. Умножая числа на −1, если нужно, дальше можем считать 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
и 
Из второго неравенства условия теперь получаем 
и 
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
и не рассмотрен симметричный случай 
Заметим, что каждое число входит ровно в шесть троек чисел, следовательно, сложив все десять сумм троек и поделив на 6, мы получим сумму всех пяти чисел, равную 16. Очевидно, что минимальной будет сумма 
откуда 
а максимальной — сумма 
откуда 
Значит, 
будет 
слагаемые которой в порядке возрастания не больше слагаемых любой другой, отличной от 
Предпоследней по величине перед 
будет 
слагаемые которой в порядке возрастания не меньше слагаемых любой другой, отличной от 
Теперь находим 
Итого: 
и найдены b и d.
а сумма любых семи подряд будет равна 
откуда 
тогда искомый пример будет таким: 5, −7, 5, −7, 5, 5, −7, 5, −7, 5.
Найти все значения, которые может принимать сумма 
и 
тогда уравнение из условия можно записать как 
откуда 
легко получаем первое возможное значение 
Поделив на скобку 
имеем 
Подставим сюда 
и 
получим 
Рассмотрев последнее уравнение как квадратное относительно a, найдём его дискриминант, равный 
Данное уравнение разрешимо в единственном случае 
и его единственным корнем будет 
В этом случае 
— второй возможный ответ задачи. Проверка найденных значений не требуется, поскольку выполняемые нами преобразования были равносильными.
и 
для некоторых действительных чисел a, b, c, d. Найти все возможные значения выражения 
Выразим из второго равенства 
и подставим в равенство 
Избавившись от знаменателя, получим 
откуда ввиду 
получим 
Подставив это в равенство 
получим 
Ввиду равенства 
либо 
В обоих случаях 
то из 
или 
Первое невозможно в силу 
значит, 
откуда снова 
(если это необходимо в решении).
Если добавить к обеим частям 8, это уравнение можно записать как 
Правая часть является произведение простых чисел 2, 19 и 23, откуда легко следует, что это единственное разложение данного числа в произведение трёх натуральных чисел, больших 1, и одно из них равно 2. Однако левая часть уравнения является произведением трёх натуральных чисел, каждое из которых не меньше трёх, что приводит к противоречию. Следовательно, равенство из условия задачи невозможно.
для всех n > 1. На сколько нулей оканчивается число, равное произведению 
?
Следовательно, 
Всего: 202 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
делится на 13, а 2yz не делится, значит, и всё выражение не может делиться на 13.
делятся на 13, 
откуда 
Значит, если сумма квадратов делится на 
также должно делиться на 13, а это неверно.